De Spiegel van Atropos

— J. Chr. de Vries

Voor Samuel V.

Aan het begin van de middag van een warme nazomerdag trof ik George Bruijsols op het terras van L’Auberge la Source du Périgord, een eenvoudig hotel-restaurant, een kilometer buiten Le Coux. Het restaurant serveerde een keuze uit twee menu’s, eenvoudig doch zeer smakelijk. Dat mocht ook wel, ze serveerden de menu’s al tientallen jaren zonder er ook maar één gerecht aan te veranderen.

George was een Vlaamse gepensioneerde bibliothecaris, we hadden elkaar al een tijd niet gesproken, en we hadden afgesproken om tijdens de lunch over het fenomeen van oneindigheid te spreken. Ik had George met mijn 25 jaar oude Peugeootje opgehaald vanaf het overdekte marktplein in Le Bugue, zijn ogen waren de laatste jaren zienderogen achteruit gegaan, hij mocht eigenlijk niet meer een auto besturen; dat kon niet altijd voorkomen worden als je aan je boodschappen wilt komen, maar in dit geval kon de manke de blinde leiden — ik had mijn linkerknie enigszins verdraaid, gelukkig was het Peugeootje een automaat. We bestelden beiden een Kir Royal als aperitief.

“Het onderwerp dat je wilt aansnijden is recursief,” zei George, waarna hij een paar van die typische Franse melige zoutjes die de ober samen met de Kir op tafel had gezet in zijn mond stak. “De theorie erover is oneindig,” verduidelijkte hij.

“De vraag is dus of de oneindigheid zijn eigen oneindigheid genereert,” zei ik. “Met andere woorden, bestaat er zoiets als een ‘mate van ondeindigheid’, een meetbare dus? Dat zou betekenen dat er verschillende grootten van oneindigheid bestaan. En wat is die maat?”


Zo begon ons gesprek over het onderwerp waarvan de essentie onvoorstelbaar is, maar dat de verleidelijkheid heeft van een zwart gat.

“Herinner jij je Leo de Hoogt nog?” vroeg George toen we de menukaart hadden bestudeerd en onze keuze gemaakt hadden. Hij bestelde het ene menu (Croustillant de Cabécou — Confit de canard — Crème brûlée) en ik het andere (Terrine de foie gras canard du chef — Magret de canard — Les fromages), alles geserveerd met Bergerac wijn, allebei een karaf, hij een rode, ik een witte.

“Alleen uit jouw verhalen. Hij had een merkwaardige theorie over de omkeerbaarheid van woorden, en hoe dat uiteindelijk altijd tot de dood leidde, als ik mij dit tenminste goed herinner. Bijvoorbeeld: ‘droom’ wordt dan ‘moord’, ‘leven’ wordt ‘nevel’, maar ‘dood’ blijft ‘dood’.”

“Ja, als je tenminste Nederlandse woorden neemt, want in het Engels lukt het nog met ‘live’ en ‘evil’, maar dan houdt het snel op. In het Duits lukt ‘Leben’ en ‘Nebel’, maar in het Frans kom je niet verder dan ‘trop’ en ‘port’, maar ik zie daar de dood niet van in. Tenzij je teveel port drinkt natuurlijk…” George houdt van flauwe grapjes.

“Teveel port brengt je in veilige haven.”

“Wijsneus!” pareerde hij. “Maar ik breng hem niet vanwege die malle theorie ter sprake.”

“Hij had ook een merkwaardige theorie over de gehele getallen, herinner ik mij. Of eerder een vraag, maar het is een tijd geleden dat jij dat vertelde, dus veel weet ik er niet meer van. Iets met optellen en vermenigvuldigen, meen ik.”

“Oh ja, dat is waar ook, die was ik glad vergeten. Maar wacht, ik kom er wel weer op.” Hij nipte aan zijn Kir en aan de frons van zijn wenkbrauwen zag ik dat hij in zijn herinneringen aan het graven was.

“Het had te maken met de even en oneven getallen,” ging hij verder. “Als je een even getal bij een even getal optelt, dan levert dat een even getal op. Als je een even getal bij een oneven getal optelt, wordt dat oneven. Oneven bij oneven wordt weer even. Met producten geldt iets dergelijks. Postitief maal positief is positief, negatief maal negatief is ook positief, maar negatief maal postief is negatief. Er zijn dus twee maal zoveel even of positieve uitkomsten dan oneven of negatieve. Even en positief was voor hem de metafoor van de dood, dus deze getalstheorie ondersteunde zijn woordtheorie. Alles gaat dood.”

“Hij was toch niet dermate van lotje getikt dat hij meende dat er twee keer zoveel even als oneven getallen zijn?”

“Non, il n’est pas si seul dans sa tête,” antwoordde George, “maar hij onderzocht wel de vraag of er meer even dan oneven getallen zijn, en zijn conclusie was uiteindelijk dat er één even getal meer is dan oneven getallen, namelijk het getal ‘nul’. Dat getal moet wel even zijn, omdat dat zich tussen twee oneven getallen bevindt, namelijk precies in het centrum.”

“Maar er zijn een oneindig aantal even getallen, en een oneindig aantal oneven getallen, dan maakt die ene toch niet uit? Oneindig is oneindig,” wierp ik tegen. “Ik bedoel, je gaat toch niet beweren dat er oneindig plus één even getallen zijn?”

“Tja…,” George nam de laatste slok van zijn Kir, “de vraag is dan of er een mate van oneindigheid bestaat, dus of de ene vorm van oneindigheid groter kan zijn dan de andere. Bijvoorbeeld alle natuurlijke getallen vergeleken met alle hele getallen.”

“Ik zou denken dat er twee keer zoveel gehele getallen bestaan dan natuurlijke; op die ‘nul’ na dan, die is apart.”

“Dat zou je denken, omdat wij geneigd zijn alles vanuit onze empirische werkelijkheid te denken. Maar toch is het niet zo. Laten we dat ‘geval apart’ bekijken, die ‘nul’. Als je de reeks gehele getallen neemt, dan ligt die ‘nul’ in het midden. Maar je zou dat ook als een kwestie van perspectief kunnen bekijken. De afstand van twee opeenvolgende hele getallen is altijd ‘1’. Stel we verplaatsen de ‘nul’ naar het uiterste negatieve getal, en we noemen dat getal ‘min oneindig’, dus in symbolen ‘-∞’,” hij pakte een oud kassabonnetje uit de zak van zijn colbert en begon een reeks symbolen te noteren. “Kijk, we kunnen dat meest negatieve getal dan herschrijven als ‘min oneindig plus nul’, dus: ‘-∞+0’. Het volgende getal is dan ‘-∞+1’, en het daaropvolgende ‘-∞+2’, en dan ‘-∞+3’, enzovoorts tot aan het uiterste positieve getal. Wanneer wij dan de symbolen ‘-∞+’ weglaten, dan blijft de reeks met natuurlijke getallen over, dus ‘0, 1, 2, 3…’ enzovoorts. Conclusie: er zijn net zoveel gehele getallen als natuurlijke.”


Gelukkig kwam de ober met een amuse, dat gaf mij de nodige tijd even na te denken. “Maar wat nu als we dat uiterste positieve getal in jouw systeem schrijven als ‘-∞+∞’, dus ‘min oneindig plus oneindig’, dan is de som toch ‘nul’?”

George begon te grinniken, “Very clever boy!” Hij propte de amuse, een stukje walnootbrood met paté en een olijf, in één keer in zijn mond. “Het oneindige stelt ons voor onvermoede paradoxen. We kunnen de exercitie ook anders uitvoeren. Wacht, mijn papiertje…”
 Hij begon weer een reeks symbolen op te schrijven, dit keer een deel van de reeks gehele getallen rond het getal ‘nul’: … -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4… “Als we alle getallen een waarde geven uit de reeks van natuurlijke getallen, bijvoorbeeld de waarde ‘0’ aan het getal ‘0’, de waarde ‘1’ aan het getal ‘1’, de waarde ‘2’ aan het getal ‘-1’, de waarde ‘3’ aan het getal ‘2’, de waarde ‘4’ aan het getal ‘-2’, en de waarde ‘5’ aan het getal ‘3’, etcetera. Dan zien we het volgende beeld,” hij noteerde nog wat en liet mij het papiertje zien.
“Voilà, méthode alternative:”

	8	6	4	2	0	1	3	5	7
…	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	…

“Wat opvalt is dat de positieve getallen, dus afgezien van de ‘nul’, dus de natuurlijke reeks getallen, vervangen zijn door alle oneven waardes, en de negatieve getallen door de even waardes. Alle gehele getallen worden dus vertegenwoordigd door alle natuurlijke getallen. Conclusie: er zijn evenveel natuurlijke getallen als gehele getallen, er is geen verschil in de mate van oneindigheid tussen de twee reeksen.”

“Ik sta met mijn mond vol tanden.”

“Dat komt dan goed uit,” zei George, de ober kwam met de beide voorgerechten.


Terwijl wij onze voorgerechten nuttigden dacht ik na over wat we tot nu toe besproken hadden. De getallen duizelden door mijn hoofd, maar ik kreeg geen tijd mij hier verder zorgen over te maken, want George vervolgde met groot enthousiasme zijn betoog.
 “We moeten een onderscheid aan de orde stellen, om een en ander te begrijpen, namelijk dat tussen ‘aftelbare en overaftelbare verzamelingen’.”
 Hij begon uit te leggen dat zowel de reeks gehele als natuurlijke getallen ‘aftelbare verzamelingen zijn’, en daarvan zijn de maten van oneindigheid gelijk. Maar de reeks reële getallen bijvoorbeeld, dus de reeks met ‘getallen achter de komma’, is ‘overaftelbaar’. Daarvan zijn er ondeindig meer dan in de reeks gehele getallen, omdat tussen elk getal uit deze laatste reeks er oneindig veel getallen met waardes achter de komma zijn. Bijvoorbeeld tussen ‘1’ en ‘2’ bestaan de waardes ‘1,000[…]1, 1,000[…]2, 1,000[…]3’, en zo verder. Het duurt dus een eeuwigheid voor je van de ‘1’ naar de ‘2’ komt. Ik moest aan Zeno denken.

“Zoiets als Achilles en de Schildpad,” opperde ik. Dat bleek een domme opmerking, George legde geduldig uit dat die aporie van Zeno ongeldig is, omdat Zeno meende dat de som van een oneindig aantal waardes ook oneindig is, maar dat is niet zo. De afstand die de schildpad moet overbruggen is een eindige afstand. Zo ook de afstand van ‘1,000[…]1’ naar ‘2’.

“Dit is veel te wiskundig voor mij allemaal, dus laten wij het onderwerp wat verleggen.” Nadat de ober onze borden en bestek had weggehaald, zei ik: “Je vroeg straks naar Leo de Hoogt, maar je hebt de reden daarvoor nog niet verteld.”

“Ah, inderdaad. Dat was vanwege de beperkte menukeuze van dit overigens uitstekende restaurant. Ik moest denken aan een uitnodiging die ik jaren geleden van hem kreeg. Hij woonde toen nog in de Mas de Cause, een lieu-dit boven Daglan. Hij had een huis van waaruit je een subliem uitzicht had over het dal van de Céou, het riviertje dat door Daglan stroomt.”


De ober kwam langs en zag onze bijna lege karaffen, hij vroeg of we nog meer wijn wilden. Dat wilden wij. George vervolgde zijn verhaal: “Je kijkt de afgrond in, en ziet in de verte weer bergen opdoemen. Op een van die bergen kun je de koepels van een observatorium zien, van waaruit je de oneindigheid van de ruimte kunt bestuderen. Enfin, hij nodigde mij uit voor een imaginair etentje, in het bijzondere restaurant genaamd L’Auberge Chez Hilbert. Ik nam de uitnodiging aan, en terwijl wij buiten op zijn terras over de sublieme afgrond uitkeken beschreef hij het menu. In tegenstelling tot het restaurant waar wij nu van onze lunch genieten was de keuze bij Chez Hilbert onbeperkt. Er waren een oneindig aantal verschillende entrées, plats, en desserts om uit te kiezen, maar niet alleen dat, je kon ze ook allemaal opeten, omdat ze imaginair waren, dus je kreeg nooit een volle maag. Dat stelde ons meteen voor een elementair probleem, want als we eerst alle entrées moesten verorberen, dan kwamen wij nooit toe aan de plats, laat staan de desserts. Alle gerechten verdwijnen de oneindigheid in, we duwen de hoofdgerechten en toetjes met elk nieuw voorgerecht de toekomst in. Ik ging dus met een lege maag bij hem weg.”

“Zo lust ik er nog een paar,” smaalde ik, “we hebben dit toch al uitgebreid besproken? Dit gaat over die getalsreeksen.”

“Je hebt gelijk, maar je vroeg waarom ik over Leo begon. Er zijn een oneindig aantal verhalen mogelijk over het begrip oneindigheid. Dat brengt mij trouwens bij een ander onderwerp, hoewel het er zeker mee te maken heeft: het fenomeen van spiegels.”


Nadat de ober onze hoofdgerechten had geserveerd stak George van wal: “Je kent uiteraard de verhalen van Borges, die hebben soms ook het oneindige als onderwerp. De bekendste verhalen zijn ‘De Biliotheek van Babel’ en uiteraard ‘De Aleph’. Maar ik moest opeens denken aan een ander, nogal hermethisch verhaal: ‘Tlön, Uqbar, Orbis Tertius’. Gelijk in het begin van dat verhaal begint hij over een imaginaire encyclopedie en een spiegel. De encyclopedie is The Anglo-American Cyclopaedia uit 1917, een zogenaamde ‘onzorgvuldige herdruk van de Encyclopaedia Brittannica van 1902’. Dat is natuurlijk een typisch Borgessiaans spel met de werkelijkheid, maar dat doet er nu even niet toe. Het gaat om een uitspraak over het fenomeen ‘spiegels’ uit die zogenaamde encyclopedie, die te vinden zou zijn onder het lemma ‘Uqbar’: Een ketter van Uqbar verklaarde dat spiegels, net als geslachtsgemeenschap, weerzinwekkend zijn, omdat ze de eigenschap hebben het aantal mensen oneindig uit te breiden. — Ik citeer nu uit mijn hoofd, de letterlijke tekst van Borges heb ik hier niet paraat en die is ongetwijfeld vanuit literair standpunt fraaier. Met andere woorden, spiegels gedragen zich als het restaurant Chez Hilbert van Leo.”

“Ja, ik herinner mij dit! Maar het is lang geleden dat ik het gelezen heb. Ik herinner mij vaag iets over voorwerpen die zich verdubbelen, en daarna weer, tot de zoveelste graad. Daar was een term voor, maar die ben ik vergeten.”

“‘Hrön’, meervoud ‘hrönir’. Ja, die verdubbeling raakt zeker aan ons onderwerp. Maar het ging mij in eerste instantie om die spiegels.”

“Spiegels verdubbelen inderdaad ook, maar doen verhalen dat eigenlijk ook niet? Er wordt een gespiegelde wereld tevoorschijn getoverd, een fictieve wereld.”

“Haha, Leo’s woordenspel en restaurant als ‘De Spiegel van Atropos’. Ja, daar kan ik mij in vinden. Dan heeft de Bibliotheek van Babel een kopie van zichzelf. En de Aleph wordt ook in zichzelf gespiegeld. Dan is de taal zelf een spiegel.”

“Oneindigheid is dus een product van de taal,” concludeerde ik. “Wat betekent dit trouwens voor de wetenschap? Die is ook talig.”

“In ieder geval heeft de technologie de eigenschap tot vermenigvuldiging,” zei George, “denk aan de lens, aan foto- en filmbeelden, die verdubbelen de werkelijkheid met een factor die in potentie oneindig is. Maar ook de boekdrukkunst had dit vermogen al, en tegenwoordig hebben we computers, met tekstverwerkers, die kunnen een tekst onbeperkt vermenigvuldigen. Een handgeschreven tekst kan een fortuin waard zijn omdat die uniek is, een fotokopie ervan heeft geen vergelijkbare waarde. Vergelijk een handgeschreven partituur van Beethoven met een digitale kopie op internet.”

“Een fout in een handgeschreven tekst is niet meer dan een fout, een fout die door een computer wordt gegenereerd is een fout die tot principe wordt verheven. Het gaat dus om de menselijke handeling, die is enkelvoudig. In de muziek zien we het ook, wanneer we muziek die live gespeeld wordt vergelijken met een opname die we afspelen. Maar, misschien gaat het nog verder: elektronische muziek, muziek gegenereerd door een tape of computer, die is in zekere zin ‘dood’, die bevindt zich achter de Spiegel van Atropos. Dat kan prachtige muziek zijn, zoals foto’s en films ook adembenemend kunnen zijn, maar er ontbreekt een vitaal element; letterlijk. Dit klinkt behoorlijk conservatief, zoniet reactionair, realiseer ik mij, maar maakt het dat minder waar, of tenminste waardevol?”

“Kritiek op technologie wordt vaak als reactionair bestempeld, omdat het kritiek op de vooruitgang zou zijn, op de toekomst uiteindelijk. Dat wordt gevoeld als een verraad aan het leven. Maar je zei ook dat er een esthetische kracht schuilt in kunst waarin de technologie een fundamentele rol speelt, daarmee verheft jouw kritiek zich boven de banale, of religieuze, afwijzing van elke moderniteit. De onderliggende vraag is natuurlijk of elke vorm van techniek, die kennelijk generiek is, omdat die leidt tot een menigvuldigheid van de oergedaante, uit den boze is. Dan is de uitvinding van het wiel en de landbouw al het begin van de ellende. Maar, en dit is de kernkwestie, dan is de uitvinding van de taal dat al. Alles begint met taal, ons vermogen tot verbeelding, tot kunst, religie, het monetaire systeem, onze visioenen. Zo bekeken is het slot van Tlön, ik bedoel het naschrift van 1947, waarin de aftakeling van onze wetenschappen en talen wordt beschreven, en de vervanging ervan door ‘Tlön’, geen voorspelling, maar een verslag van het onomkeerbare project dat ‘homo sapiens’ heet. Dan zijn wij verdoemd. Een these die schreeuwt om een antithese…”

Zijn laatste zin maakte mij pijnlijk duidelijk dat hij mij ondanks zijn vriendelijke woorden als een verstokte reactionair opvatte. Gelukkig is dit een verhaal, dus niet ik, de schrijver, ben een afgebrand fossiel, maar de ik-figuur uit het verhaal. Tegenwoordig moet je dat allemaal uitleggen, want geen hond die meer lezen kan, zo bedorven als ze zijn door het comfort van de techniek, dat maakt dat alles als een letterlijk object begrepen wordt, zonder spoor van ironie. Gelukkig werd ons servies nu weggenomen.

“Voulez vous les desserts?” vroeg de ober. Ik vroeg hem even te wachten.
“Bien sûr, encore dix minutes?” Ik knikte vriendelijk.


“Ken je die anekdote over Cantor?” vroeg George terwijl wij nipten aan onze wijn.

“Niet dat ik mij herinner,” antwoordde ik.

“Toen Cantor overleden was meldde hij zich aan de hemelpoort, Petrus stond op wacht. Cantor vroeg hem of hij kon worden binnengelaten. Petrus frontste zijn wenkbrauwen en krabde in zijn baard. ‘Dat hangt ervan af,’ zei hij uiteindelijk, ‘beantwoord eerst de volgende vraag: Is God oneindig?’ Cantor dacht na, en verkoos een diplomatiek antwoord: ‘Jazeker, God is inderdaad oneindig, maar niet meetbaar.’ Petrus knikte tevreden, maar iets kriebelde in Cantors brein en hij kon het niet laten er een opmerking aan toe te voegen: ‘Maar u daarentegen, bent niet oneindig, en wél meetbaar.’ Petrus ontstak in woede, en verbande Cantor linea recta naar de hel.

Even later stond Cantor in het voorportaal van de hel, en Satan stond daar op wacht voor twee enorme koperen deuren. “U moet kiezen welke deur u binnengaat,’ beval Satan, ‘de linker of de rechter.’ Cantor keek bezorgd naar beide deuren, en vroeg: ‘Wat is het verschil tussen wat er zich achter beide deuren bevindt?’ Satan, ook de beroerdste niet, was bereid het uit te leggen: ‘Achter de linker deur bevinden zich alle gehele getallen, die moet u allemaal opschrijven.’ Dat leek Cantor een zinloos tijdverdrijf, en toen vroeg hij: ‘En die rechter deur, wat bevindt zich daar achter?’ Satan keek hem grijnzend aan: ‘Daarchter bevinden zich alle reële getallen. Zelfde opdracht, u dient alle getallen te noteren.’ Satan wees naar beide deuren: ‘Zeg het maar.’ 

Cantor bedacht zich geen twee maal, en zei: ‘Dan kies ik voor de rechter deur, want het aantal getallen daarachter is oneindig maal groter dan dat achter de linker deur. God is oneindig, dus als ik klaar ben, dan ben ik oneindig maal ouder dan God, en dan is God dus dood. En u dus ook. Het is een kwestie van geduld betrachten.’”

Nadat ik beleefd had gelachen kwam de ober met onze desserts. George nam er een glas Monbazillac bij, en ik een glas rode port. We nuttigden het zonder te spreken, ons onderwerp was voldoende uitgemolken, wij hadden even genoeg van het oneindige.

Na het dessert rekenden we af, en ik vroeg of ik George zou afzetten op het marktplein in Le Bugue, of dat hij liever had dat ik hem thuis zou brengen. Hij knikte, dat scheelde hem ruim twee kilometer lopen. Het was al een tijd geleden dat ik hem in zijn huis had opgezocht, ik had de route ernaartoe niet paraat, en mijn Peugeootje heeft geen routeplanner, dus ik moest het hebben van de aanwijzingen van George. Nu pas begreep ik echt hoever zijn ogen achteruit waren gegaan, ik had bijzonder weinig aan zijn aanwijzingen. Pas na een uur dolen door allerlei onbekende binnenweggetjes kwamen we aan bij zijn huis, althans, een huis dat er als twee druppels water op leek, maar waarvan ik mij afvroeg of het wel het juiste huis was, er leek iets aan te zijn veranderd, maar misschien speelde mijn geheugen mij parten.


George stapte uit de auto en verzekerde mij dat het klopte. Dit was zijn huis, maar wel in een nieuwe gedaante.

Ik stapte ook uit, en zag tot mijn verbazing dat het huis nu bovendien een naam had: ‘Chez Hilbert’. “Wat is er hier gebeurd?” vroeg ik, “het lijkt exact op het huis zoals ik het kende, maar het lijkt ook helemaal nieuw. Alsof het een kopie is, een hrön!” Toen zag ik dat er onder het naambord met de naam van het huis aan de muur een vitrine was gebouwd, ik liep erheen en zag een menukaart, waarvan tot mijn verbijstering de gerechten voortdurend wijzigden. De omschrijving van de voorgerechten veranderde iedere drie seconden, die van de hoofdgerechten iedere zeven, en van de nagerechten iedere dertien seconden. Toen ik George vroeg of die omschrijvingen van de gerechten in een loop draaiden schudde bij lachend zijn hoofd. 

“Nee,” zei hij, “de teksten worden door een computerprogramma gegenereerd, en dat zorgt ervoor dat er geen enkel gerecht herhaald wordt.”

“En ja,” vervolgde hij nadat ik mijn vraag herhaald had over wat er was gebeurd met het huis, “het huis is vanaf de grond opnieuw gebouwd, met nieuwe materialen. Het is inderdaad een hrön, een van de elfde graad, waarvan de lijnen zuiverder zijn dan de oorspronkelijke versie, of misschien is het wel een ur, een object dat het resultaat is van hoop.”

“Aha,” zei ik, terwijl ik wees naar de naam van het huis op de gevel, “er wordt mij iets duidelijk: Leo de Hoogt is niet de oorspronkelijke figuur waarvan dit huis de hrön is, het is andersom, Leo de Hoogt is een hrön van jou, jij bent de oerversie ervan.” De vraag die restte was uiteraard, wat dit alles mij maakte, de schrijver.

J. Chr. de Vries — Bonnemort, 23 februari 2023